Основы мат. анализа Примеры

$\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 2

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x y + 3 y = 0$

Этап 4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$x y = - 3 y$

Этап 4.2

Разделим каждый член $x y = - 3 y$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $x y = - 3 y$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{- 3 y}{y}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{- 3 y}{y}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{y}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 3 y}{y}$

Этап 4.2.3.1.2

Разделим $- 3$ на $1$ .

$x = - 3$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y} = 0$

Этап 6

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$a^{2} - 2 a = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} - 2 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$a \cdot a - 2 a = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $a$ из $- 2 a$ .

$a \cdot a + a \cdot - 2 = 0$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot - 2$ .

$a (a - 2) = 0$

Этап 6.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a = 0$

$a - 2 = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем $a$ к $0$ .

$a = 0$

Этап 6.2.4

Приравняем $a - 2$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Приравняем $a - 2$ к $0$ .

$a - 2 = 0$

Этап 6.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$a = 2$

Этап 6.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $a (a - 2) = 0$ верно.

$a = 0, 2$

Этап 7

Зададим знаменатель в $\frac{2 - y}{x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 0$

Этап 8

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 9

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${a | a \neq 0, 2, 3, - 3}$