Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\sqrt{y}} (\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}})$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{y}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$y \geq 0$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{y}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{y} = 0$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$y = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 0$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{y} = - \sqrt{x}$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{y})}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${(- y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.2.1.5

Упростим.

$y = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим ${(- \sqrt{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 6.3.3.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 6.3.3.1.1.3

Умножим ${\sqrt{x}}^{2}$ на $1$ .

$y = {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 6.3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 6.3.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = x^{\frac{2}{2}}$

Этап 6.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{\frac{2}{2}}$

Этап 6.3.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$y = x^{1}$

Этап 6.3.3.1.2.5

Упростим.

$y = x$

Этап 7

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 0$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{y} = - \sqrt{x}$

Этап 8.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 8.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 8.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 8.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим.

$y = {(- \sqrt{x})}^{2}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Упростим ${(- \sqrt{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 8.3.3.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 8.3.3.1.1.3

Умножим ${\sqrt{x}}^{2}$ на $1$ .

$y = {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 8.3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 8.3.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 8.3.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = x^{\frac{2}{2}}$

Этап 8.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{\frac{2}{2}}$

Этап 8.3.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$y = x^{1}$

Этап 8.3.3.1.2.5

Упростим.

$y = x$

Этап 9

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y > 0}$