Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{a + b}{b}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$b = 0$

Этап 2

Зададим знаменатель в $\frac{a}{a + b}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$a + b = 0$

Этап 3

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$a = - b$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{a + b}{a}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$a = 0$

Этап 5

Зададим знаменатель в $(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$

Этап 6

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, a + b, 1$

Этап 6.1.2

Поскольку $a, a + b, 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $a, a + b, 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $a^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $a + b$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 6.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 6.1.6

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 6.1.7

НОК $a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a$

Этап 6.1.8

Множителем $a + b$ является само значение $a + b$ .

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ встречается $1$ раз.

Этап 6.1.9

НОК $a + b$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a + b$

Этап 6.1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$a (a + b)$

Этап 6.2

Каждый член в $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ умножим на $a (a + b)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ на $a (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(a + b) (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.2

Возведем $a + b$ в степень $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.3

Возведем $a + b$ в степень $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(a + b)}^{1 + 1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(a + b)}^{2} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.6

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{b}{a + b}$ в числитель.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.6.2

Вынесем множитель $a + b$ из $a (a + b)$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a (a + b))$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a \cdot a + a b)$

Этап 6.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $a$ на $a$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a^{2} + a b)$

Этап 6.2.3.2.2

Умножим $0$ на $a^{2} + a b$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем ${(a + b)}^{2}$ в виде $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b) (a + b) - b a = 0$

Этап 6.3.2

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a (a + b) + b (a + b) - b a = 0$

Этап 6.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a b + b (a + b) - b a = 0$

Этап 6.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Этап 6.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} - b a = 0$

Этап 6.3.3.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$a^{2} + a b + a b + b^{2} - b a = 0$

Этап 6.3.3.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a = 0$

Этап 6.3.4

Вычтем $b a$ из $2 a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Перенесем $b$ .

$a^{2} + b^{2} + 2 a b - 1 a b = 0$

Этап 6.3.4.2

Вычтем $a b$ из $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + 1 a b = 0$

Этап 6.3.5

Умножим $a$ на $1$ .

$a^{2} + b^{2} + a b = 0$

Этап 6.3.6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.3.7

Подставим значения $a = 1$ , $b = b$ и $c = b^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (1 \cdot b^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1.1.1

Умножим на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1.1.1

Умножим на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.9.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{- b + b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.9.4

Вынесем множитель $b$ из $- b + b i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.4.1

Вынесем множитель $b$ из $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.9.4.2

Вынесем множитель $b$ из $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.9.4.3

Вынесем множитель $b$ из $b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.9.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.3.9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.3.9.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.10

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1.1.1

Умножим на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.10.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{- b - b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.4.1

Вынесем множитель $b$ из $- b - b i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.4.1.1

Вынесем множитель $b$ из $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3.10.4.1.2

Вынесем множитель $b$ из $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.10.4.1.3

Вынесем множитель $b$ из $b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.10.4.2

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$a = \frac{b (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.10.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.3.10.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.3.10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.11

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 7

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${a | a \neq 0}$