Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ не определено.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.2.1.2

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.2.2

Поскольку функция $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $3$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.2.2.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.2.3

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.3.2

Поскольку функция $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $8$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $8$ .

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

Этап 2.1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

Этап 2.1.1.3.3.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.2

По правилу суммы производная $7 + 3 e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.4.7

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.5

Добавим $0$ и $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.6

По правилу суммы производная $4 - 8 e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 e^{3 x}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Этап 2.1.3.8.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 2.1.3.8.2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 2.1.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 2.1.3.8.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 2.1.3.8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

Этап 2.1.3.8.5

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

Этап 2.1.3.8.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

Этап 2.1.3.8.7

Умножим $3$ на $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

Этап 2.1.3.9

Вычтем $24 e^{3 x}$ из $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

Этап 2.1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель $9$ и $- 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

Этап 2.1.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Этап 2.1.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Этап 2.1.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Этап 2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

Этап 2.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем предел $\frac{3}{- 8}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{3}{- 8}$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{8}$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 3.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Этап 3.3.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Этап 3.3.3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

Этап 3.4

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Этап 3.5.1.2

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

Этап 3.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 8$ на $0$ .

$\frac{7}{4 + 0}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Горизонтальные асимптоты: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Нет наклонных асимптот

Этап 7