Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y - 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{y + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$y + 1 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$y \geq - 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{y - 1}{y \sqrt{y + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y \sqrt{y + 1} = 0$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(y \sqrt{y + 1})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 1}$ в виде ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${(y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} {(y + 1)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Упростим.

$y^{2} (y + 1) = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} y + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{3} + y^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y^{3} + y^{2} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$y^{2} y + y^{2} = 0$

Этап 4.3.1.2

Умножим на $1$ .

$y^{2} y + y^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} y + y^{2} \cdot 1$ .

$y^{2} (y + 1) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{2} = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $y^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $y^{2}$ к $0$ .

$y^{2} = 0$

Этап 4.3.3.2

Решим $y^{2} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

Этап 4.3.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $y^{2} (y + 1) = 0$ верно.

$y = 0, - 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y > - 1, y \neq 0}$

Этап 6