Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{5}}{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{5}}{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{5}}{3} = x$ .

$\frac{y^{5}}{3} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{5} = 3 x$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{3 x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Этап 5.2.3

Объединим $3$ и $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим выражение $\frac{3 x^{5}}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Этап 5.2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{3 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x})}^{5}}{3}$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[5]{3 x}}^{5}$ в виде $3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$