Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ не определено.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 2

Поскольку $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ слева, а $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ справа, то $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 3

Поскольку $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ слева, а $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ справа, то $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x^{2}$ .

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{3} + 0 - 4 x$ .

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

$15 x^{2}$

$5 x$

Этап 8.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Этап 8.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Этап 8.8

Умножим новое частное на делитель.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$6$

Этап 8.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x^{2} + 0 + 6$ .

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$

Этап 8.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$
									+	$5 x$	-	$7$

Этап 8.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x - 3 + \frac{5 x - 7}{5 x^{2} - 2}$

Этап 8.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 2 x - 3$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 2 x - 3$

Этап 10