Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ не определено.

$- 1 \leq x \leq 0$

Этап 2

Поскольку $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ слева, а $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ справа, то $x = - 1$ — вертикальная асимптота.

$x = - 1$

Этап 3

Поскольку $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 1, 0$

Этап 5

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Этап 5.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Этап 5.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 5.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 5.5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 5.5.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 5.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 5.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Этап 5.8

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 5.9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 5.9.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 5.9.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 5.9.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Этап 5.9.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 5.9.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 5.9.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 5.10

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Этап 5.11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Этап 5.11.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Разделим $1 + 0$ на $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 5.11.2.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 5.11.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Этап 5.11.2.3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Этап 5.11.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 6

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Этап 6.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Этап 6.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.5.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.6

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.7.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Этап 6.8

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 6.9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 6.9.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 6.9.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Этап 6.9.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Этап 6.9.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 6.9.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 6.9.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 6.10

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Этап 6.11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Этап 6.11.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.1

Разделим $1 + 0$ на $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Этап 6.11.2.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Этап 6.11.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Этап 6.11.2.3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Этап 6.11.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.11.2.5

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$3$

Этап 7

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = - 3, 3$

Этап 8

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1, 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = - 3, 3$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 10