Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ не определено.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Поскольку $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ слева, а $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ справа, то $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Поскольку $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ слева, а $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ справа, то $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x^{2}$ .

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} + 0 - 2 x$ .

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

$15 x^{2}$

$3 x$

Этап 8.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Этап 8.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Этап 8.8

Умножим новое частное на делитель.

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Этап 8.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x^{2} + 0 + 5$ .

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Этап 8.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									+	$3 x$	-	$9$

Этап 8.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x - 5 + \frac{3 x - 9}{3 x^{2} - 1}$

Этап 8.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 2 x - 5$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 2 x - 5$

Этап 10