Основы мат. анализа Примеры

$w (x) = \frac{x + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x + 3 x^{4}}{x^{2}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x + 3 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 x^{3})}{x^{2}}$

Этап 5.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (3 x^{3})$ .

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x^{2}}$

Этап 5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x \cdot x}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x \cdot x}$

Этап 5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 3 x^{3}}{x}$

Этап 5.2

Изменим порядок $1$ и $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 1}{x}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$0$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 0$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$
						$0$

Этап 5.8

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 5.9

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{2} + \frac{1}{x}$

Этап 5.10

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$3 x^{2} + \frac{x}{x^{2}}$

Этап 5.11

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x^{2}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x^{2}$

Этап 7