Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 1}$

Этап 1.2

Заменим обозначения функций в $f (x + h) - f (x)$ фактическими функциями.

$(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$

Этап 1.3

Упростим $(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Чтобы записать $\frac{3}{x + h - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- \frac{3}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Этап 1.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $\frac{3}{x + h - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Этап 1.3.4.2

Умножим $\frac{3}{x - 1}$ на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}$

Этап 1.3.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x + h - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))$ .

$\frac{3 (x - 1 - (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (x - 1 - x - h - - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 (x - 1 - x - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{3 (0 - 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{3 (- 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.7

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (3 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.6.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 2

Перепишем $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 3

Упростим $\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{(x + h - 1) (x - 1)}$