Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt{y}}{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{y}}{2} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{2} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{y} = 2 x$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$y = 2^{2} x^{2}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 4 x^{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt{x}}{2})}^{2}$

Этап 5.2.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 5.2.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 5.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 5.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 5.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Этап 5.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Этап 5.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (4 x^{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (4 x^{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$