Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{| x | - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$| x | - x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $| x | - x \geq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.1.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x - x \geq 0$

Этап 2.1.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.1.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x - x \geq 0$

Этап 2.1.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.1.6

Вычтем $x$ из $x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.1.7

Вычтем $x$ из $- x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.2

Решим $0 \geq 0$ , когда $x \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 2.2.2

Найдем пересечение.

$x \geq 0$

Этап 2.3

Решим $- 2 x \geq 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 x \geq 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $- 2 x \geq 0$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 2}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$x \leq 0$

Этап 2.3.2

Найдем пересечение $x \leq 0$ и $x < 0$ .

$x < 0$

Этап 2.4

Найдем объединение решений.

Все вещественные числа

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{| x | - x} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{| x | - x}$ в виде ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$| x | - x = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| x | - x = 0$

Этап 4.3

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$| x | = x$

Этап 4.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm x$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = x$

Этап 4.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 4.5.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 4.5.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 4.5.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - x$

Этап 4.5.5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + x = 0$

Этап 4.5.5.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x = 0$

Этап 4.5.6

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.5.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 4.5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 4.5.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x =, 0$

Этап 4.6

Проверим каждое решение, подставив его в $\sqrt{| x | - x} = 0$ и решив.

$x = 0$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 6