Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - (x^{2} + x - 30)$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $- (x^{2} + x - 30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - x^{2} - x - - 30$

Этап 1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 30$ .

$y = - x^{2} - x + 30$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} - x + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 1$

$c = 30$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 30 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 30 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 30 - \frac{1}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 30 - - \frac{1}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 30 + 1 (\frac{1}{4})$

Этап 1.2.4.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$e = 30 + \frac{1}{4}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$e = 30 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 1.2.4.2.3

Объединим $30$ и $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{30 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 1.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{30 \cdot 4 + 1}{4}$

Этап 1.2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Умножим $30$ на $4$ .

$e = \frac{120 + 1}{4}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Добавим $120$ и $1$ .

$e = \frac{121}{4}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$ .

$- {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = \frac{121}{4}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{121}{4})$

Этап 4