Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ в виде уравнения.

$y = 5 x^{\frac{1}{4}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 y^{\frac{1}{4}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ .

$5 y^{\frac{1}{4}} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ на $5$ .

$\frac{5 y^{\frac{1}{4}}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y^{\frac{1}{4}}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{4}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Этап 3.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Этап 3.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Этап 3.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Этап 3.4.1.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(\frac{x}{5})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5^{4}}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{625}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$ обратной к $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{{(5 x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{5^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Этап 5.2.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{625}$

Этап 5.2.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{625}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Этап 5.2.3.4

Упростим.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{4}}{625})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 {(\frac{x^{4}}{625})}^{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3.3

Применим правило умножения к $\frac{x^{4}}{625}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x^{4 (\frac{1}{4})}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.3.4.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x^{4 (\frac{1}{4})}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.3.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{625^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.3.4.2

Упростим.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{625^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем $625$ в виде $5^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{{(5^{4})}^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5^{4 (\frac{1}{4})}})$

Этап 5.3.5.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5^{4 (\frac{1}{4})}})$

Этап 5.3.5.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.5.4

Найдем экспоненту.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$ — обратная к $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$