Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{4} (8 x - x^{2})$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (8 x - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{4} (8 x) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Этап 1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 x + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Этап 1.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = 2 x - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок $2 x$ и $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2 x$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{4} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - (1 \cdot 4)$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $- (1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.4.1

Умножим $4$ на $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.4.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 4$ .

$- \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 4$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} + 4$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = 4$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, 4)$

Этап 4