Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 4}{- x - 2}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 4}{- x - 2}$ не определено.

$x = - 2$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{- x - 2}$

Этап 6.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Этап 6.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ и $- x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Этап 6.1.2.1.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{- x - 2}$

Этап 6.1.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- x - 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Этап 6.1.2.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- x - 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Этап 6.1.2.1.5

Разделим $- 1 (x - 2)$ на $1$ .

$- 1 (x - 2)$

Этап 6.1.2.2

Перепишем $- 1 (x - 2)$ в виде $- (x - 2)$ .

$- (x - 2)$

Этап 6.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x - - 2$

Этап 6.1.2.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- x + 2$

Этап 6.2

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - x + 2$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - x + 2$

Этап 8