Основы мат. анализа Примеры

$F (x) = - 3 x^{2} + 2$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$F (x + h) = - 3 {(x + h)}^{2} + 2$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$F (x + h) = - 3 ((x + h) (x + h)) + 2$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$F (x + h) = - 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 2$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$F (x + h) = - 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 2$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$F (x + h) = - 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 2$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$F (x + h) = - 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 2$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$F (x + h) = - 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 2$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$F (x + h) = - 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 2$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$F (x + h) = - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 2$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$F (x + h) = - 3 x^{2} - 3 (2 h x) - 3 h^{2} + 2$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$F (x + h) = - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 2$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $- 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 2$ .

$- 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + 2$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $- 3 x^{2}$ .

$- 6 h x - 3 h^{2} - 3 x^{2} + 2$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $- 6 h x$ и $- 3 h^{2}$ .

$- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$F (x + h) = - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2$

$F (x) = - 3 x^{2} + 2$

$F (x + h) = - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2$

$F (x) = - 3 x^{2} + 2$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{F (x + h) - F x}{h} = \frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2 - (- 3 x^{2} + 2)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2 - (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2 + 3 x^{2} - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + 2 + 3 x^{2} - 2}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + 0 + 2 - 2}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 3 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + 2 - 2}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- 3 h^{2} - 6 h x$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x}{h}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $3 h$ из $- 3 h^{2} - 6 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $3 h$ из $- 3 h^{2}$ .

$\frac{3 h (- h) - 6 h x}{h}$

Этап 4.1.8.2

Вынесем множитель $3 h$ из $- 6 h x$ .

$\frac{3 h (- h) + 3 h (- 2 x)}{h}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h (- h) + 3 h (- 2 x)$ .

$\frac{3 h (- h - 2 x)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 h (- h - 2 x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $3 (- h - 2 x)$ на $1$ .

$3 (- h - 2 x)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- h) + 3 (- 2 x)$

Этап 4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 h + 3 (- 2 x)$

Этап 4.2.3.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 3 h - 6 x$

Этап 4.2.3.3

Изменим порядок $- 3 h$ и $- 6 x$ .

$- 6 x - 3 h$

Этап 5