Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{(x - 3) \sqrt{x - 2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 2 \geq 0$

Этап 2

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x}{(x - 3) \sqrt{x - 2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 3) \sqrt{x - 2} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$\sqrt{x - 2} = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.3

Приравняем $\sqrt{x - 2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $\sqrt{x - 2}$ к $0$ .

$\sqrt{x - 2} = 0$

Этап 4.3.2

Решим $\sqrt{x - 2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Упростим ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 2)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Упростим.

$x - 2 = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) \sqrt{x - 2} = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Этап 6