Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{3 x^{2} - 8 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x^{2} - 8 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Этап 2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - \frac{1}{2}, 3}$

Этап 4