Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{2 + x - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 + x - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 + x - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 + x - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 + x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $2$ .

$x - x^{2} + 2 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Этап 2.2.1.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 - 4 - {(- 4)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 18$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 + 4 - {(4)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | - 1 \leq x \leq 2}$

Этап 4