Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (\sqrt{x} + 1) = 1$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{3} (\sqrt{x} + 1)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x} + 1 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{x} > - 1$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} > {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$x > {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x > 1$

Этап 2.4

Найдем область определения $\sqrt{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{- 2} + 1 > 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{0.5} + 1 > 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $1.70710678$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4} + 1 > 0$

Этап 2.6.3.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 1$ или $x > 1$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Этап 5