Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы записать ${(x + 1)}^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}$

Этап 1.1.2

Объединим ${(x + 1)}^{2}$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}$

Этап 1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25}{9}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{9} \cdot ({(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{1}{9} \cdot ({(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x + 1) (x + 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} \cdot ((x (x + 1) + 1 (x + 1)) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} \cdot ((x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} \cdot ((x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + x + 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + 2 x + 1) \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} \cdot (x^{2} \cdot 9 + 2 x \cdot 9 + 1 \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.5.1

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 2 x \cdot 9 + 1 \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.5.2

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 18 x + 1 \cdot 9 - 25)$

Этап 1.2.1.1.5.3

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 18 x + 9 - 25)$

$\frac{1}{9} \cdot (9 x^{2} + 18 x + 9 - 25)$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $25$ из $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 x^{2} + 18 x - 16)$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} (9 x^{2}) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{9} (9 (x^{2})) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} (9 x^{2}) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $9$ из $18 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{9} (9 (2 x)) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{1}{9} (9 (2 x)) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 x + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Этап 1.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 16$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{- 16}{9}$

Этап 1.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} + 2 x - \frac{16}{9}$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{16}{9}$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = - \frac{16}{9} - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = - \frac{16}{9} - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$e = - \frac{16}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 1.2.5.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$e = - \frac{16}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Этап 1.2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 16 - 1 \cdot 9}{9}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = \frac{- 16 - 9}{9}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Вычтем $9$ из $- 16$ .

$e = \frac{- 25}{9}$

Этап 1.2.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{25}{9}$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$ .

${(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - \frac{25}{9}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, - \frac{25}{9})$

Этап 4