Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{\sqrt{x + 3}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{25 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$25 - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $25$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 25$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 25$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 25$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{25}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 5 |$

Этап 2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$| x | \leq 5$

Этап 2.5

Запишем $| x | \leq 5$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 5$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 5$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $x \leq 5$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 5$

Этап 2.7

Решим $- x \leq 5$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 5$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{5}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Разделим $5$ на $- 1$ .

$x \geq - 5$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 5$ и $x < 0$ .

$- 5 \leq x < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$- 5 \leq x \leq 5$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 3 \geq 0$

Этап 4

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{\sqrt{x + 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x + 3} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 3}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$x + 3 = 0^{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 3, 5]$

Обозначение построения множества:

${x | - 3 < x \leq 5}$

Этап 8