Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 5}}{2 x^{2} - 17 x + 21}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 5}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 5 \geq 0$

Этап 2

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x - 5}}{2 x^{2} - 17 x + 21}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x^{2} - 17 x + 21 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 21 = 42$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 x$ .

$2 x^{2} - 17 x + 21 = 0$

Этап 4.1.1.2

Запишем $- 17$ как $- 3$ плюс $- 14$

$2 x^{2} + (- 3 - 14) x + 21 = 0$

Этап 4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x - 14 x + 21 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 3 x) - 14 x + 21 = 0$

Этап 4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 3) - 7 (2 x - 3) = 0$

Этап 4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x - 7) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 4.3.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 4.4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 3) (x - 7) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{2}, 7$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[5, 7) \cup (7, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 5, x \neq 7}$

Этап 6