Основы мат. анализа Примеры

f (x, y) = \sqrt{ln (x + y)}

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

Этап 1

Решим относительно

\sqrt{ln (x + y)}

$\sqrt{\ln (x + y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде

\sqrt{ln (x + y)} = f (x, y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ .

\sqrt{ln (x + y)} = f (x, y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

Этап 1.2

Умножим

f

$f$ на каждый элемент матрицы.

\sqrt{ln (x + y)} = (f x, f y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

\sqrt{ln (x + y)} = (f x, f y)

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

{\sqrt{ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{ln (x + y)}

$\sqrt{\ln (x + y)}$ в виде

{ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

{({ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим

{({ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в

{({ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

{ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

{ln}^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

{ln}^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

{ln}^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 4

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Чтобы решить относительно

y

$y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

e^{ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = ln (x + y)

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Развернем

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

{(f x, f y)}^{2} ln (e) = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.2.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.2.3

Умножим

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ на

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 4.4.3

Вычтем

ln (x + y)

$\ln (x + y)$ из обеих частей уравнения.

{(f x, f y)}^{2} - ln (x + y) = 0

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Этап 4.4.4

Чтобы решить относительно

y

$y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

e^{ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.4.5

Перепишем

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4.6

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = ln (x + y)

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.2.1

Развернем

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

{(f x, f y)}^{2} ln (e) = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.2.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.2.3

Умножим

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ на

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.3

Вычтем

ln (x + y)

$\ln (x + y)$ из обеих частей уравнения.

{(f x, f y)}^{2} - ln (x + y) = 0

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Этап 4.4.6.4

Чтобы решить относительно

y

$y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

e^{ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.4.6.5

Перепишем

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4.6.6

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = ln (x + y)

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.2.1

Развернем

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

{(f x, f y)}^{2} ln (e) = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.2.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.2.3

Умножим

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ на

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.3

Вычтем

ln (x + y)

$\ln (x + y)$ из обеих частей уравнения.

{(f x, f y)}^{2} - ln (x + y) = 0

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Этап 4.4.6.6.4

Чтобы решить относительно

y

$y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

e^{ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.4.6.6.5

Перепишем

ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4.6.6.6

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.6.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = ln (x + y)

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.6.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.6.2.1

Развернем

ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

{(f x, f y)}^{2} ln (e) = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.6.2.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.6.2.3

Умножим

{(f x, f y)}^{2}

${(f x, f y)}^{2}$ на

1

$1$ .

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

{(f x, f y)}^{2} = ln (x + y)

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 5

Зададим аргумент в

ln (x + y)

$\ln (x + y)$ большим

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

x + y > 0

$x + y > 0$

Этап 6

Вычтем

y

$y$ из обеих частей неравенства.

x > - y

$x > - y$

Этап 7

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$