Основы мат. анализа Примеры

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{\ln (x + y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ .

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

Этап 1.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\ln (x + y)}$ в виде ${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем ${(f x, f y)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Развернем $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося ${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.2.3

Умножим ${(f x, f y)}^{2}$ на $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 4.4.3

Вычтем $\ln (x + y)$ из обеих частей уравнения.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Этап 4.4.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.4.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.2.1

Развернем $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося ${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.2.3

Умножим ${(f x, f y)}^{2}$ на $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.3

Вычтем $\ln (x + y)$ из обеих частей уравнения.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Этап 4.4.6.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.4.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4.6.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.2.1

Развернем $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося ${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.2.3

Умножим ${(f x, f y)}^{2}$ на $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.3

Вычтем $\ln (x + y)$ из обеих частей уравнения.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Этап 4.4.6.6.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Этап 4.4.6.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Этап 4.4.6.6.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.6.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.6.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.6.6.2.1

Развернем $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ , вынося ${(f x, f y)}^{2}$ из логарифма.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.6.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Этап 4.4.6.6.6.2.3

Умножим ${(f x, f y)}^{2}$ на $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Этап 5

Зададим аргумент в $\ln (x + y)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + y > 0$

Этап 6

Вычтем $y$ из обеих частей неравенства.

$x > - y$

Этап 7

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$