Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x - 3}}{x^{2} - 5 x + 4}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x - 3 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 3$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x \geq 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{x^{2} - 5 x + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 1) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 4, 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{3}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq \frac{3}{2}, x \neq 4}$

Этап 6