Основы мат. анализа Примеры

$r (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$ не определено.

$x = 4$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 4 x}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (x^{2} - 3 x - 4)}{x - 4}$

Этап 6.1.1.2

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 6.1.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x ((x - 4) (x + 1))}{x - 4}$

$\frac{x (x - 4) (x + 1)}{x - 4}$

Этап 6.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 4) (x + 1)}{x - 4}$

Этап 6.1.2.1.2

Разделим $x (x + 1)$ на $1$ .

$x (x + 1)$

Этап 6.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1$

Этап 6.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1$

Этап 6.1.2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x$

Этап 6.2

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x^{2} + x$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x^{2} + x$

Этап 8