Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $3 x (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

Этап 2.1.7

Добавим $- x$ и $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.1.8.3

Перепишем многочлен.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Этап 4