Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ не определено.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ слева, а $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ справа, то $x = - 1$ — вертикальная асимптота.

$x = - 1$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 1, 1$

Этап 5

Поскольку предел не существует, горизонтальных асимптот нет.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1, 1$

Нет горизонтальных асимптот

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8