Основы мат. анализа Примеры

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ не определено.

- 1 \leq x \leq 1

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 2

Поскольку

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

- 1

$- 1$ слева, а

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

- 1

$- 1$ справа, то

x = - 1

$x = - 1$ — вертикальная асимптота.

x = - 1

$x = - 1$

Этап 3

Поскольку

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ слева, а

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ справа, то

x = 1

$x = 1$ — вертикальная асимптота.

x = 1

$x = 1$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

x = - 1, 1

$x = - 1, 1$

Этап 5

Поскольку предел не существует, горизонтальных асимптот нет.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты:

x = - 1, 1

$x = - 1, 1$

Нет горизонтальных асимптот

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8