Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $\frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (x) - f a}{x - a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим обозначения функций в $f (x) - f a$ фактическими функциями.

$(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x} a$

Этап 1.2

Упростим $(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x} a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{a}{x}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{1}{x}$ и $- \frac{a}{x}$ .

$- \frac{a}{x} + \frac{1}{x}$

Этап 2

Вычислим знаменатель в $\frac{f (x) - f a}{x - a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим обозначения функций в $x - a$ фактическими функциями.

$x - a$

Этап 2.2

Изменим порядок $x$ и $- a$ .

$- a + x$

Этап 3

Перепишем $\frac{f (x) - f a}{x - a}$ .

$\frac{- \frac{a}{x} + \frac{1}{x}}{- a + x}$

Этап 4

Упростим $\frac{- \frac{a}{x} + \frac{1}{x}}{- a + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $\frac{- \frac{a}{x} + \frac{1}{x}}{- a + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- \frac{a}{x} + \frac{1}{x}}{- a + x}$

Этап 4.1.2

Объединим.

$\frac{x (- \frac{a}{x} + \frac{1}{x})}{x (- a + x)}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- \frac{a}{x}) + x \frac{1}{x}}{x (- a) + x \cdot x}$

Этап 4.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{a}{x}$ в числитель.

$\frac{x \frac{- a}{x} + x \frac{1}{x}}{x (- a) + x \cdot x}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{- a}{x} + x \frac{1}{x}}{x (- a) + x \cdot x}$

Этап 4.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- a + x \frac{1}{x}}{x (- a) + x \cdot x}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- a + x \frac{1}{x}}{x (- a) + x \cdot x}$

Этап 4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- a + 1}{x (- a) + x \cdot x}$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x (- a) + x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x$ .

$\frac{- a + 1}{x (- a) + x (x)}$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x (- a) + x (x)$ .

$\frac{- a + 1}{x (- a + x)}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- a$ .

$\frac{- (a) + 1}{x (- a + x)}$

Этап 4.4.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (a) - 1 (- 1)}{x (- a + x)}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (a - 1)}{x (- a + x)}$

Этап 4.4.5

Перепишем $- (a - 1)$ в виде $- 1 (a - 1)$ .

$\frac{- 1 (a - 1)}{x (- a + x)}$

Этап 4.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- a$ .

$\frac{- 1 (a - 1)}{x (- (a) + x)}$

Этап 4.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- 1 (a - 1)}{x (- (a) - 1 (- x))}$

Этап 4.4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- 1 (a - 1)}{x (- (a - x))}$

Этап 4.4.9

Перепишем $- (a - x)$ в виде $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - 1)}{x (- 1 (a - x))}$

Этап 4.4.10

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (a - 1)}{x (- 1 (a - x))}$

Этап 4.4.11

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 1}{x (a - x)}$