Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = 4 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = 4 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3}} = 4 x$

Этап 3.4

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.1.1.2

Упростим.

$y = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(4 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$y = 4^{3} x^{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$y = 64 x^{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4})}^{3}$

Этап 5.2.3

Применим правило умножения к $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Этап 5.2.4.2

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{64})$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{64})$

Этап 5.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (64 x^{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{{(64 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $64 x^{3}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{64^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{4^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (64 x^{3}) = \frac{4^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.5

Найдем экспоненту.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x^{3 (\frac{1}{3})}}{4}$

Этап 5.3.3.6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x^{3 (\frac{1}{3})}}{4}$

Этап 5.3.3.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.3.7

Упростим.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (64 x^{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$