Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ в виде уравнения.

$y = 4 \sqrt[3]{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 4 \sqrt[3]{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 \sqrt[3]{y} = x$ .

$4 \sqrt[3]{y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 \sqrt[3]{y} = x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 \sqrt[3]{y} = x$ на $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sqrt[3]{y}$ на $1$ .

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{4}$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

Этап 3.4.3.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ обратной к $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{{(4 \sqrt[3]{x})}^{3}}{64}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{4^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Этап 5.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Этап 5.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Этап 5.2.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Этап 5.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Этап 5.2.3.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{3}}{64})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Этап 5.3.4

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4^{3}}}$

Этап 5.3.5

Перепишем $\frac{x^{3}}{4^{3}}$ в виде ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{x}{4})}^{3}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ — обратная к $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$