Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ не определено.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x = 1$

Этап 2

Поскольку $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ слева, а $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ справа, то $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ слева, а $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ справа, то $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 5

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

Этап 6

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 7

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 5$

$m = 3$

Этап 8

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 9

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 9.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 9.3

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 9.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{5} + 0 - 10 x^{3} + 5 x^{2}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 9.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 9.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 9.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 9.8

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

Этап 9.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{3} + 0 - 20 x + 10$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

Этап 9.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

$5 x^{2}$

$20 x$

$10$

Этап 9.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x^{2} + 10 + \frac{- 5 x^{2} + 20 x - 10}{x^{3} - 2 x + 1}$

Этап 9.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 5 x^{2} + 10$

Этап 10

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 5 x^{2} + 10$

Этап 11