Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x^{2} - 3 x - 20 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Этап 2.2.1.2

Запишем $- 3$ как $5$ плюс $- 8$

$2 x^{2} + (5 - 8) x - 20 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 5) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{2}, 4$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 5)}^{2} - 3 \cdot - 5 - 20 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $45$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 20 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 20 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $34$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{2}$ Истина

$- \frac{5}{2} < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - \frac{5}{2}$ Истина

$- \frac{5}{2} < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{5}{2}$ или $x \geq 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - \frac{5}{2}, x \geq 4}$

Этап 4