Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{9 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$9 - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 9$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 9$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 9$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{9}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{9}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 3 |$

Этап 2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$| x | \leq 3$

Этап 2.5

Запишем $| x | \leq 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 3$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 3$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $x \leq 3$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 3$

Этап 2.7

Решим $- x \leq 3$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{3}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x \geq - 3$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 3$ и $x < 0$ .

$- 3 \leq x < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$- 3 \leq x \leq 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{2} + 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $7$ .

$2, 5$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.4

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 2, - 5$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 3, - 2) \cup (- 2, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | - 3 \leq x \leq 3, x \neq - 2}$

Этап 6