Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{- 1} - 2 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

Этап 2.2

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$\frac{1}{x} > 2$

Этап 2.3

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Этап 2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 2 x$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $2 x = 1$ .

$2 x = 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем область определения $x^{- 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Зададим основание в $x^{- 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.6.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 2.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 1.\overline{6}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Этап 3

Зададим основание в $x^{- 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \frac{1}{2})$

Обозначение построения множества:

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

Этап 5