Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 x - 1$ and $g (x) = 4 x^{2} + x$ ; find $((g \circ f)) (x)$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (f (x))$

Этап 2

Найдем значение $g (6 x - 1)$ , подставив значение $f$ в $g$ .

$g (6 x - 1) = 4 {(6 x - 1)}^{2} + 6 x - 1$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$g (6 x - 1) = 4 {(6 x - 1)}^{2} + 6 x - 1$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(6 x - 1)}^{2}$ в виде $(6 x - 1) (6 x - 1)$ .

$g (6 x - 1) = 4 ((6 x - 1) (6 x - 1)) + 6 x - 1$

Этап 4.2

Развернем $(6 x - 1) (6 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (6 x - 1) = 4 (6 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1)) + 6 x - 1$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (6 x - 1) = 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1)) + 6 x - 1$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (6 x - 1) = 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g (6 x - 1) = 4 (6 \cdot (6 x \cdot x) + 6 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$g (6 x - 1) = 4 (6 \cdot (6 (x \cdot x)) + 6 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$g (6 x - 1) = 4 (6 \cdot (6 x^{2}) + 6 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$g (6 x - 1) = 4 (36 x^{2} + 6 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$g (6 x - 1) = 4 (36 x^{2} - 6 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$g (6 x - 1) = 4 (36 x^{2} - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (6 x - 1) = 4 (36 x^{2} - 6 x - 6 x + 1) + 6 x - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$g (6 x - 1) = 4 (36 x^{2} - 12 x + 1) + 6 x - 1$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g (6 x - 1) = 4 (36 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 \cdot 1 + 6 x - 1$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $36$ на $4$ .

$g (6 x - 1) = 144 x^{2} + 4 (- 12 x) + 4 \cdot 1 + 6 x - 1$

Этап 4.5.2

Умножим $- 12$ на $4$ .

$g (6 x - 1) = 144 x^{2} - 48 x + 4 \cdot 1 + 6 x - 1$

Этап 4.5.3

Умножим $4$ на $1$ .

$g (6 x - 1) = 144 x^{2} - 48 x + 4 + 6 x - 1$

Этап 5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- 48 x$ и $6 x$ .

$g (6 x - 1) = 144 x^{2} - 42 x + 4 - 1$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$g (6 x - 1) = 144 x^{2} - 42 x + 3$