Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - x^{5} + x$

Этап 1

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = 2 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{5} - x$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{5} - x$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{5} - x$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = 2 (- x^{3}) - {(- x)}^{5} - x$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} - {(- x)}^{5} - x$

Этап 1.3.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} - ({(- 1)}^{5} x^{5}) - x$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перенесем ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 x^{5}) - x$

Этап 1.3.5.2

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) x^{5}) - x$

Этап 1.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{5 + 1} x^{5} - x$

Этап 1.3.5.3

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{6} x^{5} - x$

Этап 1.3.6

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + 1 x^{5} - x$

Этап 1.3.7

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + x^{5} - x$

Этап 2

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 2.2

Так как $- 2 x^{3} + x^{5} - x$ $\neq$ $2 x^{3} - x^{5} + x$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 3

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $- f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $2 x^{3} - x^{5} + x$ на $- 1$ .

$- f (x) = - (2 x^{3} - x^{5} + x)$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- f (x) = - (2 x^{3}) + x^{5} - x$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- f (x) = - 2 x^{3} + x^{5} - x$

Этап 3.1.3.2

Умножим $- - x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- f (x) = - 2 x^{3} + 1 x^{5} - x$

Этап 3.1.3.2.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$- f (x) = - 2 x^{3} + x^{5} - x$

Этап 3.2

Так как $- 2 x^{3} + x^{5} - x = - 2 x^{3} + x^{5} - x$ , эта функция является нечетной.

Функция является нечетной.

Этап 4