Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{| x | + 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{| x | + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$| x | + 1 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $| x | + 1 \geq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.1.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 2.1.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.1.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x + 1 \geq 0$

Этап 2.1.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x + 1 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x + 1 \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.2

Решим $x + 1 \geq 0$ , когда $x \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 2.2.2

Найдем пересечение $x \geq - 1$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 0$

Этап 2.3

Решим $- x + 1 \geq 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим $- x + 1 \geq 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 2.3.1.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 2.3.2

Найдем пересечение $x \leq 1$ и $x < 0$ .

$x < 0$

Этап 2.4

Найдем объединение решений.

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4