Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ не определено.

$x = - \sqrt{5}, x = \sqrt{5}$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \sqrt{5}$ слева, а $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \sqrt{5}$ справа, то $x = - \sqrt{5}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ слева, а $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ справа, то $x = \sqrt{5}$ — вертикальная асимптота.

$x = \sqrt{5}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 - 5 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

$3 x$

Этап 8.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

$3 x$

$3$

Этап 8.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + \frac{3 x + 3}{x^{2} - 5}$

Этап 8.8

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x$

Этап 10