Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[5]{x} + 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[5]{y} + 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[5]{y} + 4 = x$ .

$\sqrt[5]{y} + 4 = x$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[5]{y} = x - 4$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(x - 4)}^{5}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{5}}$ .

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(x - 4)}^{5}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x - 4)}^{5}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x - 4)}^{5}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - 4)}^{5}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - 4)}^{5}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 4)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 4 + 10 x^{3} {(- 4)}^{2} + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 10 x^{3} {(- 4)}^{2} + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 16 + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $16$ на $10$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 64 + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.5

Умножим $- 64$ на $10$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.6

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 5 x \cdot 256 + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.7

Умножим $256$ на $5$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x + {(- 4)}^{5}$

Этап 3.4.3.1.2.8

Возведем $- 4$ в степень $5$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$ обратной к $f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = {\sqrt[5]{x}}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x^{\frac{5}{5}} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.1.5

Упростим.

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 5 \sqrt[5]{x^{4}} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.4

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 16 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.6

Умножим $16$ на $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.7

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 64 + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.9

Умножим $64$ на $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.10

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 256 + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.11

Умножим $256$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.2.12

Возведем $4$ в степень $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 ({\sqrt[5]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 4 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.4

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 16 + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.6

Умножим $16$ на $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.7

Умножим $4$ на $4^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.7.1

Перенесем $4^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[5]{x}) + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.7.2

Умножим $4^{3}$ на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.7.2.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[5]{x}) + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{3 + 1} \sqrt[5]{x} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.7.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{4} \sqrt[5]{x} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.8

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 256 \sqrt[5]{x} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.4.9

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 256 \sqrt[5]{x} + 256) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 20 (16 \sqrt[5]{x^{3}}) - 20 (96 \sqrt[5]{x^{2}}) - 20 (256 \sqrt[5]{x}) - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $16$ на $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 20 (96 \sqrt[5]{x^{2}}) - 20 (256 \sqrt[5]{x}) - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $96$ на $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 20 (256 \sqrt[5]{x}) - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.6.3

Умножим $256$ на $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.6.4

Умножим $- 20$ на $256$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.7

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 ({\sqrt[5]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.8.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.8.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.8.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 16 + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.8.5

Умножим $16$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 48 \sqrt[5]{x} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.8.6

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 48 \sqrt[5]{x} + 64) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 160 (12 \sqrt[5]{x^{2}}) + 160 (48 \sqrt[5]{x}) + 160 \cdot 64 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Умножим $12$ на $160$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 160 (48 \sqrt[5]{x}) + 160 \cdot 64 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.10.2

Умножим $48$ на $160$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 160 \cdot 64 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.10.3

Умножим $160$ на $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.11

Перепишем ${(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2}$ в виде $(\sqrt[5]{x} + 4) (\sqrt[5]{x} + 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 ((\sqrt[5]{x} + 4) (\sqrt[5]{x} + 4)) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.12

Развернем $(\sqrt[5]{x} + 4) (\sqrt[5]{x} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} (\sqrt[5]{x} + 4) + 4 (\sqrt[5]{x} + 4)) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[5]{x} + 4)) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1.1

Умножим $\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1.1.1

Возведем $\sqrt[5]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.1.1.2

Возведем $\sqrt[5]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 ({\sqrt[5]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 ({\sqrt[5]{x}}^{2} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.1.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.1.3

Перенесем $4$ влево от $\sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[5]{x} + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \sqrt[5]{x} + 16) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.13.2

Добавим $4 \sqrt[5]{x}$ и $4 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + 8 \sqrt[5]{x} + 16) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 640 (8 \sqrt[5]{x}) - 640 \cdot 16 + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.15.1

Умножим $8$ на $- 640$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 640 \cdot 16 + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.15.2

Умножим $- 640$ на $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Этап 5.2.3.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 1280 \cdot 4 - 1024$

Этап 5.2.3.17

Умножим $1280$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $20 \sqrt[5]{x^{4}}$ из $20 \sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 0 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.3

Добавим $- 1920 \sqrt[5]{x^{2}}$ и $1920 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.5

Вычтем $640 \sqrt[5]{x^{2}}$ из $640 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.7

Вычтем $10240$ из $10240$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 0 - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.8

Добавим $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Этап 5.2.4.1.9

Добавим $- 5120$ и $5120$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 0 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} - 1024$

Этап 5.2.4.1.10

Добавим $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} - 1024$

Этап 5.2.4.1.11

Вычтем $1024$ из $1024$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 0 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.1.12

Добавим $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $320 \sqrt[5]{x^{3}}$ из $160 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x - 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 160 \sqrt[5]{x^{3}}$ и $160 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 0 + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.4

Вычтем $5120 \sqrt[5]{x}$ из $1280 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x - 3840 \sqrt[5]{x} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.5

Добавим $- 3840 \sqrt[5]{x}$ и $7680 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 3840 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.6

Вычтем $5120 \sqrt[5]{x}$ из $3840 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x - 1280 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Этап 5.2.4.7

Объединим противоположные члены в $x - 1280 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.1

Добавим $- 1280 \sqrt[5]{x}$ и $1280 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 0$

Этап 5.2.4.7.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024} + 4$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024} + 4$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{x^{5} - 5 \cdot (4 x^{4}) + 10 \cdot (4^{2} x^{3}) - 10 \cdot (4^{3} x^{2}) + 5 \cdot (4^{4} x) - 1 \cdot 4^{5}} + 4$

Этап 5.3.4.2

Разложим $x^{5} - 5 \cdot 4 x^{4} + 10 \cdot 4^{2} x^{3} - 10 \cdot 4^{3} x^{2} + 5 \cdot 4^{4} x - 1 \cdot 4^{5}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{{(x - 4)}^{5}} + 4$

Этап 5.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = x - 4 + 4$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$ — обратная к $f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$