Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x - 4$ в виде уравнения.

$y = 2 x - 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y - 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y - 4 = x$ .

$2 y - 4 = x$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 y = x + 4$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 y = x + 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 y = x + 4$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$y = \frac{x}{2} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$ обратной к $f (x) = 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 x - 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2 x - 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2 (1)} + 2$

Этап 5.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2 \cdot 1} + 2$

Этап 5.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{x - 2}{1} + 2$

Этап 5.2.3.4.4

Разделим $x - 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{2} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2} + 2) - 4$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 2 - 4$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 2 - 4$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 2 \cdot 2 - 4$

Этап 5.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 4 - 4$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$ — обратная к $f (x) = 2 x - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$