Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{4} - 4 x^{3} - x^{2}$

Этап 1

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = 4 {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 4 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = 4 (1 x^{4}) - 4 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = 4 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = 4 x^{4} - 4 (- x^{3}) - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} - {(- x)}^{2}$

Этап 1.2.7

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Этап 1.2.8

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2})$

Этап 1.2.8.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2})$

Этап 1.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2}$

Этап 1.2.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2}$

Этап 1.2.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2}$

Этап 2

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 2.2

Так как $4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2}$ $\neq$ $4 x^{4} - 4 x^{3} - x^{2}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 3

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $- f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $4 x^{4} - 4 x^{3} - x^{2}$ на $- 1$ .

$- f (x) = - (4 x^{4} - 4 x^{3} - x^{2})$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- f (x) = - (4 x^{4}) - (- 4 x^{3}) + x^{2}$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- f (x) = - 4 x^{4} - (- 4 x^{3}) + x^{2}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- f (x) = - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2}$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- f (x) = - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 1 x^{2}$

Этап 3.1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- f (x) = - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2}$

Этап 3.2

Так как $4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2}$ $\neq$ $- 4 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2}$ , эта функция не является нечетной.

Функция является нечетной

Этап 4

Функция не является ни четной, ни нечетной

Этап 5