Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$ не определено.

$x = - 7$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 12 x}{x + 7}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $12 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (3)}{x + 7}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (3)$ .

$\frac{4 x (x + 3)}{x + 7}$

Этап 5.2

Развернем $4 x (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 3}{x + 7}$

Этап 5.2.2

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x \cdot x + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Этап 5.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Этап 5.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Этап 5.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Этап 5.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Этап 5.2.7

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$7$

$4 x^{2}$

$12 x$

$0$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 28 x$ .

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					-	$16 x$	-	$112$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x - 112$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$
							+	$112$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$4 x - 16 + \frac{112}{x + 7}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 4 x - 16$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 7$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 4 x - 16$

Этап 7