Основы мат. анализа Примеры

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{3}$

Этап 2

Используем формулу геометрической прогрессии $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , чтобы найти количество членов $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения первого члена, последнего члена и отношения между членами геометрической прогрессии в формулу.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 2.2

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Этап 2.2.2

Упростим $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Этап 2.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Этап 2.2.2.2

Объединим $81$ и $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Этап 2.2.3

Умножим обе части на $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Сократим общий множитель $3^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Этап 2.2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Этап 2.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Объединим $\frac{1}{81}$ и $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Этап 2.2.5

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Этап 2.2.5.2

Умножим обе части уравнения на $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Этап 2.2.5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Этап 2.2.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Этап 2.2.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.2.1

Умножим $81$ на $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Этап 2.2.5.4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Этап 2.2.5.5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$n - 1 = 8$

Этап 2.2.5.6

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$n = 8 + 1$

Этап 2.2.5.6.2

Добавим $8$ и $1$ .

$n = 9$

Этап 3

Используем формулу суммы геометрической прогрессии $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ , чтобы найти сумму.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значения первого члена, отношения между членами геометрической прогрессии и их количество в формулу суммы.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.7.2

Вычтем $19683$ из $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.9

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.9.2

Объединим $81$ и $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.9.3

Умножим $81$ на $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10

Сократим общий множитель $1594242$ и $19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Вынесем множитель $81$ из $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.2.1

Вынесем множитель $81$ из $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.2.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Этап 3.2.2.4.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Этап 3.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.2.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 3.2.5.2

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 3.2.5.3

Перепишем это выражение.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Этап 3.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Этап 3.2.6.2

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Этап 3.2.6.3

Перепишем это выражение.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$