Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 3}{{(1 - x)}^{3}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(1 - x)}^{3}$ .

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.5.2

Разделим $6 x^{2} - 8 x + 3$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{A {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{3}$ и ${(1 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель ${(1 - x)}^{2}$ из $(B) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{B (1 - x)}{1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.2.2.4

Разделим $B (1 - x)$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B (1 - x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B \cdot 1 + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.4

Умножим $B$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Этап 1.6.6

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{3}$ и $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Вынесем множитель $1 - x$ из $(C) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{1 - x}$

Этап 1.6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.2.1

Умножим на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Этап 1.6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Этап 1.6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{C {(1 - x)}^{2}}{1}$

Этап 1.6.6.2.4

Разделим $C {(1 - x)}^{2}$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C {(1 - x)}^{2}$

Этап 1.6.7

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C ((1 - x) (1 - x))$

Этап 1.6.8

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 (1 - x) - x (1 - x))$

Этап 1.6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x))$

Этап 1.6.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Этап 1.6.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Этап 1.6.9.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x \cdot 1 - x (- x))$

Этап 1.6.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - x (- x))$

Этап 1.6.9.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

Этап 1.6.9.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1.5.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

Этап 1.6.9.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

Этап 1.6.9.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + 1 x^{2})$

Этап 1.6.9.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + x^{2})$

Этап 1.6.9.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - 2 x + x^{2})$

Этап 1.6.10

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C \cdot 1 + C (- 2 x) + C x^{2}$

Этап 1.6.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.1

Умножим $C$ на $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C + C (- 2 x) + C x^{2}$

Этап 1.6.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C - 2 C x + C x^{2}$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B + C - 2 C x + C x^{2}$

Этап 1.7.2

Перенесем $C$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B - 2 C x + C x^{2} + C$

Этап 1.7.3

Перенесем $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A - x B - 2 C x + C x^{2} + B + C$

Этап 1.7.4

Перенесем $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B - 2 C x + C x^{2} + A + B + C$

Этап 1.7.5

Перенесем $- 2 C x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B + C x^{2} - 2 C x + A + B + C$

Этап 1.7.6

Изменим порядок $- x B$ и $C x^{2}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = C x^{2} - x B - 2 C x + A + B + C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 8 = - 1 B - 2 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A + B + C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 6$ .

$C = 6$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $C$ в $- 8 = - 1 B - 2 C$ на $6$ .

$- 8 = - 1 B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$- 8 = - B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $6$ .

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $C$ в $3 = A + B + C$ на $6$ .

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Этап 3.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Избавимся от скобок.

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 8 = - B - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- B - 12 = - 8$ .

$- B - 12 = - 8$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- B = - 8 + 12$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 8$ и $12$ .

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- B = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- B = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $3 = A + B + 6$ на $- 4$ .

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Этап 3.4.2

Упростим $3 = A - 4 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Этап 3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Добавим $- 4$ и $6$ .

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Этап 3.5

Решим относительно $A$ в $3 = A + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 = 3$ .

$A + 2 = 3$

$B = - 4$

$C = 6$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$A = 3 - 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

Этап 3.6

Решим систему уравнений.

$A = 1 B = - 4 C = 6$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$A = 1, B = - 4, C = 6$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{- 4}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{6}{1 - x}$