Основы мат. анализа Примеры

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

Этап 1

Это арифметическая последовательность, так как между соседними членами существует общая разность. В данном случае добавление $2$ к предыдущему члену дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Арифметическая последовательность: $d = 2$

Этап 2

Используем формулу арифметической последовательности $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ , чтобы найти количество членов $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения первого члена, последнего члена и разности между членами арифметической последовательности в формулу.

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

Этап 2.2

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $1 + 2 (n - 1) = 101$ .

$1 + 2 (n - 1) = 101$

Этап 2.2.2

Упростим $1 + 2 (n - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 + 2 n - 2 = 101$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 n - 1 = 101$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 n = 101 + 1$

Этап 2.2.3.2

Добавим $101$ и $1$ .

$2 n = 102$

Этап 2.2.4

Разделим каждый член $2 n = 102$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разделим каждый член $2 n = 102$ на $2$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{102}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Разделим $102$ на $2$ .

$n = 51$

Этап 3

Используем формулу суммы арифметической последовательности $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ , чтобы найти сумму.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значения первого члена, последнего члена и количество членов в формулу суммы.

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ и $101$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $102$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{n} = 51 \cdot 51$

Этап 3.2.3

Умножим $51$ на $51$ .

$S_{n} = 2601$