Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Этап 1.1.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Этап 1.1.3

Упростим $\frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Развернем $(x - 1) (x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 7) - 1 (x + 7))$

Этап 1.1.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 (x + 7))$

Этап 1.1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Этап 1.1.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Этап 1.1.3.2.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 7)$

Этап 1.1.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 1 \cdot 7)$

Этап 1.1.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 7)$

Этап 1.1.3.2.2

Вычтем $x$ из $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (3 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Этап 1.1.3.4.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 7}{4}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Этап 1.2.3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3.2.5.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3.2.5.3

Перепишем это выражение.

$d = 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $\frac{9}{4}$ на $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 7 - 9}{4}$

Этап 1.2.4.2.3

Вычтем $9$ из $- 7$ .

$e = \frac{- 16}{4}$

Этап 1.2.4.2.4

Разделим $- 16$ на $4$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 4$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 4$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, - 4)$

Этап 4