Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{x} + 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{y} + 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{y} + 5 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 5 = x$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{y} = x - 5$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - 5)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - 5)}^{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 5)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $25$ на $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.5

Умножим $25$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.2.6

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.3

Перепишем ${(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2}$ в виде $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ((\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.4

Развернем $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 5) + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1

Умножим $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1.1

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.1.1.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.1.3

Перенесем $5$ влево от $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \cdot \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.1.4

Умножим $5$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.5.2

Добавим $5 \sqrt[3]{x}$ и $5 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 (10 \sqrt[3]{x}) - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Умножим $10$ на $- 15$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.7.2

Умножим $- 15$ на $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Этап 5.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 5 - 125$

Этап 5.2.3.9

Умножим $75$ на $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ из $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0 + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Этап 5.2.4.1.3

Добавим $- 375$ и $375$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Этап 5.2.4.1.5

Вычтем $125$ из $125$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 0 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 75 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $150 \sqrt[3]{x}$ из $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 75 \sqrt[3]{x}$ и $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) - 1 \cdot 5^{3}} + 5$

Этап 5.3.4.2

Разложим $x^{3} - 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x - 1 \cdot 5^{3}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Этап 5.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x - 5 + 5$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$